求解一个热传导偏微分方程

gute_Laune · 发表于 2010-2-22 23:02

本帖最后由 gute_Laune 于 2010-2-22 23:14 编辑

在圆柱坐标系下，求解 Te 的方程式，Tl 温度跟 Te 成线性关系

不知道次方程是否有统一解？请高人指点一下

ElberEis · 发表于 2010-2-23 10:06

本帖最后由 ElberEis 于 2010-2-23 10:40 编辑

我来说一下自己大致的理解。不一定对，但是供你参考。

首先，你说“Tl 温度跟 Te 成线性关系”，那么(2)式就是一个关于Tl 的ODE。这个ODE你应该知道怎么解的。这样就先有了Tl 关于Te的表达式，我们假设为式(3)。如果把式(3)带入式(1)，应该可以消去Tl。这样，2个式子就变成了一个关于Te的PDE，主未知数为Te，空间变量为z 和 r，时间变量为 t 。

因为你想要的是解析解。所以可以先看这个链接：
http://www.tmt.ugal.ro/crios/Sup ... /ex10_4/ex10_4.html
它给出的是圆柱坐标系下Homogenous BC的解析解。也就是对于式(1)中不带右边项的部分 (到小g前面的减号为止那部分)

看弄这部分之后，再看如何处理inhomogenous的BC。
http://www.tmt.ugal.ro/crios/Sup ... sovm.html#treatment

说实话我也没完全看懂后面那个处理方法。权当抛砖引玉，希望数学专业的来指点一下迷津。

另外最好给出g函数的表达式。这个直接决定了是不是有解析解。

schnell · 发表于 2010-2-23 11:24

你找找一本书， VDI Waermealtlas。里面有章节讲这种情况。
先用Taylor-Reihenentwicklung 打开，再用finit/Differenz methode ,
explizit, implizit, 或者还有 Crank Nickson Verfahren 解。

johndoe · 发表于 2010-2-23 19:35

你找找一本书， VDI Waermealtlas。里面有章节讲这种情况。
先用Taylor-Reihenentwicklung 打开，再用fin ...
schnell 发表于 2010-2-23 11:24

你后面说的都是并列的解法啊。。。

lz没有boundary条件吗？

gute_Laune · 发表于 2010-2-23 23:41

回复 2# ElberEis

你的分析太对了，简直说道我心坎里去了，哈哈

可惜解析方法看不懂哦，郁闷

Ce, Ke 和 g 假定是常量，否则的话，方程更复杂

gute_Laune · 发表于 2010-2-23 23:42

回复 3# schnell

谢谢啊，能否说了具体的方法啊？我没本事理解那么多的解题思路呀

gute_Laune · 发表于 2010-2-23 23:44

回复 4# johndoe

initial 和boundary 条件都有

我就是想先问问有没有generic solution，然后我再自己把以上几个条件代进去

ElberEis · 发表于 2010-2-24 09:31

shnell 给你讲的finite difference是最常用的数值解法
我给你的两个链接讲的是解析解的推导方法。

你的问题是： "有没有generic solution? "

我只能回答说数值解法和解析解法都是常用的解偏微分方程的方法。基于方程的特性，不是所有的微分方程都可以获得解析解。

针对你写的控制方程，在满足Ce, Ke 和 g 是常量，并且给出边界和初始条件的话，可以肯定得告诉你解析解是存在的。因为同样的控制方程换一下变量就是带衰减项的扩散传质方程，在我的专业上它的解析解是很常用的。

gute_Laune · 发表于 2010-2-24 10:55

回复 8# ElberEis

sorry, i cant type in chinese at the moment

have u heard about the implicit conservative difference scheme and a longitudinal–transverse sweep method?
it was recommended for me from a russian author

another question is: there are two energy systems. to solve this thermal problem, i assumed a linear dependence of the Temp. Tl on Te, i dont actually know it. this assumption could be a trouble for the thermal problem

thanks a lot

gute_Laune · 发表于 2010-2-24 11:00

回复 8# ElberEis

i now unterstood your advisement. a generic solution is maybe not necessary. so i could use a suitable method to solve the equations using my boundary and initial conditions
i just hope, i wont take me too long time

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