求解一个热传导偏微分方程

gute_Laune

在圆柱坐标系下，求解 Te 的方程式，Tl 温度跟 Te 成线性关系

不知道次方程是否有统一解？请高人指点一下

ElberEis

我来说一下自己大致的理解。不一定对，但是供你参考。

首先，你说“Tl 温度跟 Te 成线性关系”，那么(2)式就是一个关于Tl 的ODE。 这个ODE你应该知道怎么解的。 这样就先有了Tl 关于Te的表达式，我们假设为式(3)。 如果把式(3)带入式(1)，应该可以消去Tl。 这样，2个式子就变成了一个关于Te的PDE，主未知数为Te，空间变量为z 和 r，时间变量为 t 。

因为你想要的是解析解。所以可以先看这个链接：
http://www.tmt.ugal.ro/crios/Sup ... /ex10_4/ex10_4.html
它给出的是圆柱坐标系下Homogenous BC的解析解。也就是对于式(1)中不带右边项的部分 (到小g前面的减号为止那部分)

看弄这部分之后，再看如何处理inhomogenous的BC。
http://www.tmt.ugal.ro/crios/Sup ... sovm.html#treatment

说实话我也没完全看懂后面那个处理方法。权当抛砖引玉，希望数学专业的来指点一下迷津。

另外最好给出g函数的表达式。这个直接决定了是不是有解析解。

schnell

你找找一本书， VDI Waermealtlas。 里面有章节讲这种情况。
先用Taylor-Reihenentwicklung 打开，再用finit/Differenz methode  ,
explizit, implizit, 或者还有 Crank Nickson Verfahren 解。

johndoe

你找找一本书， VDI Waermealtlas。 里面有章节讲这种情况。
先用Taylor-Reihenentwicklung 打开，再用fin ...
schnell 发表于 2010-2-23 11:24

你后面说的都是并列的解法啊。。。

lz没有boundary条件吗？

gute_Laune

回复 2# ElberEis


你的分析太对了，简直说道我心坎里去了，哈哈

可惜解析方法看不懂哦，郁闷

Ce, Ke 和 g 假定是常量，否则的话，方程更复杂

gute_Laune

回复 3# schnell


谢谢啊，能否说了具体的方法啊？我没本事理解那么多的解题思路呀

gute_Laune

回复 4# johndoe


initial 和boundary 条件都有

我就是想先问问有没有generic solution，然后我再自己把以上几个条件代进去

ElberEis

shnell  给你讲的finite difference是最常用的数值解法
我给你的两个链接讲的是解析解的推导方法。

你的问题是： "有没有generic solution? "

我只能回答说数值解法和解析解法都是常用的解偏微分方程的方法。基于方程的特性，不是所有的微分方程都可以获得解析解。

针对你写的控制方程，在满足Ce, Ke 和 g 是常量，并且给出边界和初始条件的话，可以肯定得告诉你解析解是存在的。因为同样的控制方程换一下变量就是带衰减项的扩散传质方程，在我的专业上它的解析解是很常用的。

gute_Laune

回复 8# ElberEis


sorry, i cant type in chinese at the moment

have u heard about the implicit conservative difference scheme and a longitudinal–transverse sweep method?
it was recommended for me from a russian author

another question is: there are two energy systems. to solve this thermal problem, i assumed a linear dependence of the Temp. Tl on Te, i dont actually know it. this assumption could be a trouble for the thermal problem

thanks a lot

gute_Laune

回复 8# ElberEis


i now unterstood your advisement. a generic solution is maybe not necessary. so i could use a suitable method to solve the equations using my boundary and initial conditions
i just hope, i wont take me too long time

schnell

我做硕士论文的时候遇到过类是的问题，教授给的方法是用Fint/Diff/Methode解.  
给你介绍的那本书里讲解的挺详细，相关的anfangsbedingung 和Randbedinggung 都列出来了。
而且还有其他热传导的内容。
你还是看看那本书吧，肯定比我讲的明白。

ElberEis

回复 9# gute_Laune

1) 我没有听说过 implicit conservative difference scheme 和 longitudinal–transverse sweep 这两个方法。如果你选择用数值方法求解，我感觉Finite Difference 或者 Finite Element 方法肯定是可以的。 基本的方法你可以去看一下schnell推荐的书，如果在学校或者研究所的话可以去参考一下Matlab下面的一个PDE toolbox。不过我不知道是不是支持圆柱坐标系。

2) 如果g非常复杂，或者说Tl和Te之间的关系非线性，那就不存在解析解。如果你能获得g的表达式，那肯定是先解ODE， 然后代入（1），这样你至少减少一个未知数。 最复杂的情况就是你完全不知道g的表达式，只能获得数值反馈。那么（1）（2）两式就需要联立然后用牛顿迭代求解。软件的话好像 Comso 有这个功能，不过我没用过。

对你来说，要先衡量，你要解决的问题中g函数到底有多复杂。如果会很复杂，那你肯定绕不过数值方法，那就学习FD吧。 另一条路就是，两个温度如果线性相关，那就肯定是解析解更省时省力。

gute_Laune

回复 11# schnell


   
谢谢，我得先去找到这本书，有问题再来请教你们啊

gute_Laune

回复 12# ElberEis


   
g 还有其他的几个 Ce, Cl, Ke 只能假定为常数，否则的话，方程就更难解了

如果假定 Te = a * Tl，方程可能会好解点，但是我还找不到理由