关于矩阵求逆问题二

orionsnow

关于矩阵求逆问题二

原来那个老贴太乱了，所以我这里重新开了一个新贴。

http://www.dolc.de/forum/viewthr ... p;extra=&page=2




我的方程 是一个 含有 n 个未知数向量的线性方程组

比如 未知数向量  为 Ci ， Dij， Eijk

C 是 1 by 1 的
D 是 2 by 1 的
E 是 2乘2=4 by 1 的

整个线性方程就是一个1+2+4 =7 的

这个7by7 的矩阵按结构的特殊性可以分为9块

最简单的情况是

A 。{C D E}’ = {f(Y)}’

A=（
  c 1 1 1 1 1 1
  1 d 0 1 0 0 0
  1 0 d 0 1 1 1
  1 1 0 e 0 0 0
  1 0 1 0 e 0 0
  1 0 1 0 0 e 0
  1 0 1 0 0 0 e
）

c, d, e 是大于1 的常数。 每次模拟的时候由一些固定的模型参数组合产生。

稍微复杂点的情况，在不同块里头的 0 会被0。5 或者随机数替代。


简单的情况下， 我发现 可以先把 2，3 行相+，4567 行相+， 得到一个33阵，然后把 C 求出来，然后带入到 原方程，把C 消去。 然后可以把2，4 和3567 分成两组+，可以把D 分别求出来。 然后以此类推。
并且这个过程可以数值计算，也可以符号计算。

当 0 被0。5 替代后算法依然有效，不过要增加若干次特殊对称矩阵求逆。

当 0 被正态随机数 替代后算法可能有效，可以通过巧妙构造求一次期望之后求近似解。



虽然我原来用分块求逆的办法来化简的思路还是没有实现，不过现在算有了一种线性时间可以实现的解析算法

问题1
这种算法叫什么？  
是一种超稀松矩解法？ 或者是叫有特殊结构的矩阵求逆?

recursive algorithm 这个叫法正确么？ 因为最后解写出来的形式是

   C_i = Mc^-1 Y_i

   D_i. = Md^-1 (Y_i-C_i)
   E_i.. = Me^-1 (Y_i-C_i-D_i)



问题2

有否 有合适的分块矩阵算法？

我觉得我到推导出分块解不远了， 因为每次那个行求和，都可以通过若干上下三角阵来完成。把他们组合起来应该就有效了。



3
这个应该不算问题了。

我最近跟据mathematica user support的提示在写mathematica code， 应该可以让电脑来做分块推导。

文献上好像提到一种 g-inverse 的矩阵.


4
关于为什么一定要用解析算法：

I

时间需要。

在实际应用的时候 n=3-5 整个方程的维数大概是2000。


已经有网友提供了参考，这么大的随机矩阵求逆大概是200秒，超稀松的话更快。
但是我们目前的公式解求解大概是每次1秒，整个参数空间的暴力搜索大概要15 天。（一个cpu 的情况下。）

如果数值计算一次100 秒，那么暴力搜索大概要1500天（一个cpu 的情况下。） 这样的话就需要对暴力搜索算法进行加速。还要再设计加速算法。另外就是要搜索的函数空间可选择的参数组合比较多，连续性和求导都相对比较难保证 （求差值没有问题）。虽然我也做了一些尝试，不过目前还没有准备好。

模拟的并行计算也是一个好选择，不过需要经费和时间申请或者购置新主机。


II
理论分析需要。

比如上边那个方程 最后

解析解
E_ijk  =   ( y_ijk - C_i - D_ij) /e

这样就很容易的解释说 e 和 遗传力度 h 成反比。
因为 根据定义 E_ijk  =  h ( y_ijk - C_i - D_ij)



如果是数值解，就必须两个数值再做图，或者算协方差 才能确认比例关系。

Piggy-poo