数学问题 函数的连续性 可导性 连续可导性

lijiacc

比如给出一个函数,求这函数在某一点是否differenzierbar,是用什么方法的啊

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-12 21:04 编辑 ]

lijiacc

differenzierbar是否可以推出stetig,倒过来行不行
一个函数如何算是monoton,如果它一部分monoton steigend,一部分monoton fallend,那这个函数算不算monoton

熊猫羊

函数在某点的可导性的充要条件是1函数在该点连续2函数在该的左导数和右导数都存在,且相等,且不为无穷大.两条件缺一不可
由此可得方法1判断该点的连续性,2计算该点的左右导数,判断是否相等,是否为无穷大

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-8 18:50 编辑 ]

熊猫羊

某点连续是某点可导的必要非充分条件.即
某点可导必能推出该点连续,
但某点连续不能推出该点可导,反例:y=exp(-|x|)在0处连续,但不可导.

一下是MatLab代码
x=-10:.1:10;
y=exp(-1.*abs(x));
plot(x,y);axis([-10 10 0 1.2])

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-8 18:58 编辑 ]

熊猫羊

以上的求导问题是经典高等数学问题,对于Dirac的delta函数,和Heavyside的单位阶跃函数,以上狭义的求导不使用,delta函数和单位阶跃函数都是广义函数,或曰,分布Distribution,其求导和微分问题不同于狭义问题.所以如果在信号与系统之类的课程中遇到delta函数和单位阶跃函数需要注意其含义.

熊猫羊

"一个函数如何算是monoton,如果它一部分monoton steigend,一部分monoton fallend,那这个函数算不算monoton "

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-8 19:05 编辑 ]

熊猫羊

"如果它一部分monoton steigend,一部分monoton fallend,那这个函数算不算monoton "
该函数在整个区间上不单调,但分段单调.

以上附件中的大于号有时可以是大于等于,不同的书有不同的定义.

maedebach

讨论的很专业哦,呵呵

lijiacc

stetige Differenzierbarkeit 和stetig有什么区别吗,能举个例子吗

lijiacc

3楼关于可导性的证明,我有疑问,我觉的你的方法是证明连续性的
熊猫羊,你有油箱吗,我发道题目你看看,这里我打不出来

熊猫羊

求导的经典定义

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-8 22:52 编辑 ]

polo

原帖由 lijiacc 于 2006-6-8 22:26 发表
stetige Differenzierbarkeit 和stetig有什么区别吗,能举个例子吗

stetig<- stetig diffbar

例子：
stetig diffbar： f(x)=x
stetig, aber nicht stetig diffbar(x=0 nicht diffbar) ： f(x)=|x|

高数，忘记的差不多了，希望没说错:)

polo

原帖由 lijiacc 于 2006-6-8 22:32 发表
3楼关于可导性的证明,我有疑问,我觉的你的方法是证明连续性的
熊猫羊,你有油箱吗,我发道题目你看看,这里我打不出来

好像没有问题，记得以前好像是这么学的
证明函数在p点可导，要从2个方向p+和p-求导，分段函数就要特别注意，2个方向求出的数值一样，才是那个点的倒数。

熊猫羊

用截图,可以发到版面

熊猫羊

具体的可看 高等数学 同济版 第一册 第一,二章论述很清楚

lijiacc

danke...

lijiacc

原帖由 polo 于 2006-6-8 22:54 发表


stetig<- stetig diffbar

例子：
stetig diffbar： f(x)=x
stetig, aber nicht stetig diffbar(x=0 nicht diffbar) ： f(x)=|x|

高数，忘记的差不多了，希望没说错:)

stetig diffbar就是既stetig又diffbar喽..对吗

熊猫羊

我不知道你的stetig differenzbar是不是"连续可导"
如果是,我觉得polo的说法值得商榷
函数在某点stetig differenzbar,应该不是指"既stetig又differenzbar",试想differenzbar以stetig为前提,函数在某点若differenzbar则自动stetig,何必重复呢?

连续可导一般需要指明多少阶,
某函数在某点n阶连续可导,等价于,该函数在该点可导,且,该函数的1阶导函数,2阶导函数,...,直到,n-1阶导函数在该点都存在.

或者说得饶舌点,
某函数在某点n阶连续可导,等价于,
1)该函数在该点可导
且,
2)该函数的1阶导函数在该点连续,且,该1阶导函数在该点的左导数和右导数都存在,且相等,且,不为无穷大.
且
3)该函数的2阶导函数在该点连续,且,该2阶导函数在该点的左导数和右导数都存在,且相等,且,不为无穷大.
且,
...
n)该函数的n-2阶导函数在该点连续,且,该n-2阶导函数在该点的左导数和右导数都存在,且相等,且,不为无穷大.

仅仅由以上第i)条可以单独推出,该函数在该点的第i阶导数存在.

f(x)=|x|在x=0点处连续,但不可导,自然谈不上连续可导了
f(x)=|x|在除去x=0点的整个实轴上处处任意阶连续可导.

希望我说的够明白了

lijiacc

alles klar
够专业啊!!

熊猫羊

至于函数在某点的连续性问题，其证明方法与求导有类似性
函数在某点连续，需要证明1函数在该点有定义；2函数在该点的左极限和右极限都存在，且相等。
其实第二条隐含了，“且不为无穷大”，因为函数在某点的值不可能是无穷大，无穷大是一个趋势，而非点，例如y=x^(-1/2)在x＝0处不连续
不连续 又称 间断，不连续点 又称 间断点。根据间断点处左右极限的存在性，间断点又分两类
第一类间断点(左右极限都存在)包括:
1可去间断点(左右极限都存在而且相等)
2跳跃间断点(左右极限都存在但不相等)
第二类间断点(左右极限都不存在)包括:
1无穷间断点
2振荡间断点

函数在某点的连续性其实很形象的说，连续性可以从函数的曲线看出。

函数在某点可导，在几何上等价于，函数曲线在该点存在切线。如y=exp(-|x|)和y＝|x|在x＝0处无法定义切线，形象的说，该点处，曲线很“尖“，不平滑，当然这种尖，平滑，只是形象的说法，定量的衡量需要数学，这也是数学存在的价值。

熊猫羊

最后总结
函数在某点的连续性，函数在某点的可导性，函数在某点的x阶连续可导性，
相当于
我是中国人，我是湖北人，我家自第x辈以来都是湖北人
只是一个形象的比方，后者自动蕴含前者，但前者不足以推出后者

注意，
1以上讨论的都是函数在一点的性质，而非在一段区间的性质，
2一元函数里成立的性质，在二元函数或者多元函数中不一定成立，例如”二元函数在某点可偏导“，和”该函数在该点连续“没有直接联系
3对于delta函数，单位阶跃函数等广义函数，以上求导的定义不适用

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-10 23:17 编辑 ]

熊猫羊

lz的问题如下

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-11 01:45 编辑 ]

熊猫羊

个人认为，f(x)在x＝1处，不连续，因为，该点处左右极限为0，而定义为1，不等
函数在该点不可导。

MatLab

x1=0.01:0.0001:1.99;y1=(log(sqrt(x1)))./(sqrt(x1-1)),plot(x1,real(y1))

[ 本帖最后由 熊猫羊 于 2006-6-11 01:46 编辑 ]

lijiacc

感谢熊猫羊啊..我找老师理论去,我也觉的在x=1不可导